Это надо знать
Круги Эйлера – это геометрическая схема, которая помогает находить и делать более наглядными логические связи. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.
Автор метода - ученый Леонард Эйлер (1707-1783). Он говорил о названных его именем схемах: «круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».
Задача про любимые мультфильмы
Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым - «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».
Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым - «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».
Решение:
Всего в классе - 38 учеников - большой круг. Так как по условиям задачи у нас даны три множества, чертим три круга. А так как по ответам ребят выходит, что множества пересекаются друг с другом, чертеж будет выглядеть так:
Укажем на чертеже все числа, которые даны по условию, причем, мультфильмы "Волк и теленок" и "Губка Боб Квадратные Штаны" любят: 5 - 3 = 2 ученика (пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма).
1) 13 - (2 + 3 + 1) = 7 (уч.) - любят только мультфильм «Волк и теленок»
2) 21 - (6 + 3 + 1) = 11 (уч.) - любят только мультфильм «Белоснежка и семь гномов»
3) 38 - (7 +11 + 3 + 1 + 2 + 6) = 8 (уч.) - любят только мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»
4) 8 + 2 + 1 + 6 = 17 (уч.) - любят мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».
Ответ: 17 учеников.
Зимние каникулы
В классе 24 ученика. Все они хорошо провели зимние каникулы.10 человек катались на лыжах, 16 ездили на каток, а 12 — лепили снеговиков. Сколько учеников смогли покататься и на лыжах, и на коньках, и слепить снеговика?
Решение:
Пусть х - количество учеников, которые смогли покататься и на лыжах, и на коньках, и слепить снеговика.
Составим и решим уравнение:(12 - х) + (16 - х) + (10 - х) + х = 24;
38 - 2х = 24;
2х = 38 - 24;
2х = 14;
х = 14 : 2;
х = 7 (уч.)
Ответ: 7 учеников.
При решении многих задач используется принцип Дирихле. Принцип назван по имени его автора немецкого математика Петера Густава Дирихле. Принцип устанавливает связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками»).
Принцип Дирихле - это положение, утверждающее, что если по N ящикам разложить предметы, число которых больше N, то найдется ящик, в котором находится больше одного предмета.
Слова "ящик" и "предметы" следует понимать в обобщенном смысле.
Пример:
Имеется 4 кролика и 3 клетки. Найдется хотя бы одна клетка, в которой будет не менее одного кролика.
Доказательство:
Допустим, что не существует клеток, где более одного кролика. Тогда в 3-х клетках окажется не более трех кроликов, а их - 4. Получили противоречие.
Обобщенный принцип Дирихле - это положение, утверждающее, что если по N ящикам разложить предметы, число которых больше N * k (k - натуральное число), то найдется ящик, в котором находится больше k предметов.
Пример:
Имеется 10 кроликов и 3 клетки. Найдется хотя бы одна клетка, в которой будет не менее 4 кроликов.
Доказательство:
Допустим, что не существует клеток, где более 3 кроликов. Тогда в 3-х клетках окажется не более 3*3 = 9 кроликов, а их - 10. Получили противоречие.
Пример:
В школе 30 классов и 1000 учащихся. Доказать, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.
Доказательство:
Допустим, в каждом классе учится не более 33 учащихся, тогда 33 * 30= 990 учащийся учились бы в школе. Противоречие, т.к. учащихся 1000, следовательно есть классы в которых может быть не менее 34 учащихся.
В финале турнира по шахматам встретились представители шести воинских званий: майор, капитан, лейтенант, старшина, сержант и ефрейтор, причем разных специальностей: летчик, танкист, артиллерист, минометчик, сапер и связист. Определите специальность и звание каждого из шахматистов по следующим данным:
1) в первом туре лейтенант выиграл у летчика, майор — у танкиста, а сержант — у минометчика;
2) во втором туре капитан выиграл у танкиста;
3) в третьем и четвертом турах минометчик из-за болезни не участвовал в турнире, поэтому свободными от игры оказались капитан и ефрейтор;
4) в четвертом туре майор выиграл у связиста;
5) победителями турнира оказались лейтенант и майор, а хуже всех выступил сапер.
Для удобства решения составим прямоугольную таблицу, в которой по вертикали запишем воинские звания шахматистов, а по горизонтали – их специальности.
Ответ: летчик – капитан, сапер – сержант, связист – лейтенант, майор – артиллерист.
1. В школе с углубленным изучением иностранных языков провели опрос среди 100 учащихся. Ученикам задали вопрос: "Какие иностранные языки вы изучаете?". Выяснилось, что 48 учеников изучают английский, 26 - французский, 28 - немецкий. 8 школьников изучают английский и немецкий, 8 - английский и французский, 13 - французский и немецкий. 24 школьника не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий. Сколько школьников, прошедших опрос, изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий?
Ответ: 7 учеников.
Принцип Дирихле
При решении многих задач используется принцип Дирихле. Принцип назван по имени его автора немецкого математика Петера Густава Дирихле. Принцип устанавливает связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками»).
Принцип Дирихле - это положение, утверждающее, что если по N ящикам разложить предметы, число которых больше N, то найдется ящик, в котором находится больше одного предмета.
Слова "ящик" и "предметы" следует понимать в обобщенном смысле.
Пример:
Имеется 4 кролика и 3 клетки. Найдется хотя бы одна клетка, в которой будет не менее одного кролика.
Доказательство:
Допустим, что не существует клеток, где более одного кролика. Тогда в 3-х клетках окажется не более трех кроликов, а их - 4. Получили противоречие.
Обобщенный принцип Дирихле - это положение, утверждающее, что если по N ящикам разложить предметы, число которых больше N * k (k - натуральное число), то найдется ящик, в котором находится больше k предметов.
Пример:
Имеется 10 кроликов и 3 клетки. Найдется хотя бы одна клетка, в которой будет не менее 4 кроликов.
Доказательство:
Допустим, что не существует клеток, где более 3 кроликов. Тогда в 3-х клетках окажется не более 3*3 = 9 кроликов, а их - 10. Получили противоречие.
Пример:
В школе 30 классов и 1000 учащихся. Доказать, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.
Доказательство:
Допустим, в каждом классе учится не более 33 учащихся, тогда 33 * 30= 990 учащийся учились бы в школе. Противоречие, т.к. учащихся 1000, следовательно есть классы в которых может быть не менее 34 учащихся.
Табличный метод решения логических задач
В финале турнира по шахматам встретились представители шести воинских званий: майор, капитан, лейтенант, старшина, сержант и ефрейтор, причем разных специальностей: летчик, танкист, артиллерист, минометчик, сапер и связист. Определите специальность и звание каждого из шахматистов по следующим данным:
1) в первом туре лейтенант выиграл у летчика, майор — у танкиста, а сержант — у минометчика;
2) во втором туре капитан выиграл у танкиста;
3) в третьем и четвертом турах минометчик из-за болезни не участвовал в турнире, поэтому свободными от игры оказались капитан и ефрейтор;
4) в четвертом туре майор выиграл у связиста;
5) победителями турнира оказались лейтенант и майор, а хуже всех выступил сапер.
Для удобства решения составим прямоугольную таблицу, в которой по вертикали запишем воинские звания шахматистов, а по горизонтали – их специальности.
Ставим "+", если есть соответствие, если признака нет, то ставим "-". По смыслу задачи в каждой строке и в каждом столбце должен быть плюс и только один, так как каждую специальность имеет только один из шахматистов, и каждое воинское звание имеет только один из шахматистов, так как всего шесть различных воинских званий и шесть разных специальностей.
Летчик
|
Танкист
|
Артиллерист
|
Минометчик
|
Сапер
|
Связист
|
|
Майор
|
–
|
–
|
+
|
–
|
–
|
–
|
Капитан
|
+
|
–
|
–
|
–
|
–
|
–
|
Лейтенант
|
–
|
–
|
–
|
–
|
–
|
+
|
Старшина
|
–
|
–
|
–
|
+
|
–
|
–
|
Сержант
|
–
|
–
|
–
|
–
|
+
|
–
|
Ефрейтор
|
–
|
+
|
–
|
–
|
–
|
–
|
Видеоурок
Домашнее задание
К уроку 72 (на 20.12)1. В школе с углубленным изучением иностранных языков провели опрос среди 100 учащихся. Ученикам задали вопрос: "Какие иностранные языки вы изучаете?". Выяснилось, что 48 учеников изучают английский, 26 - французский, 28 - немецкий. 8 школьников изучают английский и немецкий, 8 - английский и французский, 13 - французский и немецкий. 24 школьника не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий. Сколько школьников, прошедших опрос, изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий?
2. Ребята посещают три кружка: математики, физики и химии. Решено было организовать кружок юных техников и пригласить тех ребят, которые не занимаются ни в одном из трех перечисленных. Сколько таких ребят, если всего в классе 36 человек, занимаются математикой- 18, физикой – 14, химией – 10. 2 посещают все три кружка, 8 – математику и физику, 5 – математику и химию, 3 – химию и физику.
К уроку 73 (на 21.12)
1. Часть жителей нашего дома выписывают только газету «Комсомольская правда», часть – только газету «Известия», а часть – и ту, и другую газету. Сколько процентов жителей дома выписывают обе газеты, если на газету «Комсомольская правда» из них подписаны 85%, а на «Известия» – 75%?
К уроку 73 (на 21.12)
1. Часть жителей нашего дома выписывают только газету «Комсомольская правда», часть – только газету «Известия», а часть – и ту, и другую газету. Сколько процентов жителей дома выписывают обе газеты, если на газету «Комсомольская правда» из них подписаны 85%, а на «Известия» – 75%?
2. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?
К уроку 74 (на 22.12)
1. В ящике лежат носки 4 цветов. Какое наименьшее количество носков надо вытащить, чтобы из них можно было составить одну пару?
2. В классе 34 ученика. Докажите, что среди них обязательно найдутся по меньшей мере двое, у которых фамилии начинаются с одной и той же буквы.
К уроку 74 (на 22.12)
1. В ящике лежат носки 4 цветов. Какое наименьшее количество носков надо вытащить, чтобы из них можно было составить одну пару?
2. В классе 34 ученика. Докажите, что среди них обязательно найдутся по меньшей мере двое, у которых фамилии начинаются с одной и той же буквы.
3. 15 мальчиков собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то два из них собрали одинаковое число орехов.
4. В классе 37 человек. Найдется ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не менее, чем 4 ученика этого класса?
К уроку 75 (на 23.12)
1. Три друга после школы едут домой на различном транспорте: автобусе, троллейбусе, трамвае. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку». Кто на чем ездит домой?
К уроку 75 (на 23.12)
1. Три друга после школы едут домой на различном транспорте: автобусе, троллейбусе, трамвае. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку». Кто на чем ездит домой?
2. Клоуны Бам, Бим, Бом вышли на арену в красной, синей и зеленой рубашках. Их туфли тоже были этих трех цветов. Туфли и рубашка Бима были одного цвета. На Боме не было ничего красного. Туфли Бама были синие, а рубашка нет. Каких цветов были туфли и рубашка у Бома и Бима?
Комментариев нет:
Отправить комментарий